Нижегородский государственный университет им. Н.И.Лобачевского
Опубликован: 27.09.2006 | Доступ: свободный | Студентов: 3534 / 125 | Оценка: 4.44 / 4.11 | Длительность: 13:45:00
Специальности: Программист, Математик
Лекция 7:

Пространство циклов графа

< Лекция 6 || Лекция 7: 1234 || Лекция 8 >

Квазициклы

В этом разделе слово "цикл" мы будем понимать несколько иначе, чем до сих пор. Именно, циклом будем называть граф, у которого одна компонента связности является простым циклом, а остальные - изолированными вершинами. На рис. 7.1 показано, что в результате сложения двух циклов иногда получается цикл. Это не всегда так (например, когда складываемые циклы не имеют общих ребер), но все-таки графы, которые можно получить, складывая циклы, обладают определенными особенностями. На этом основан алгебраический подход к изучению устройства множества циклов графа.

Рассмотрим некоторый граф G\in \Gamma_{V}. Среди его остовных подграфов, возможно, имеется некоторое количество циклов. Обозначим через C[G] подпространство пространства подграфов, порождаемое всеми этими циклами. C[G] называется пространством циклов графа G. Оно содержит граф O (если в G нет циклов, то O является единственным элементом пространства циклов), а все остальные его элементы - это всевозможные линейные комбинации циклов графа G. Заметим, что коэффициентами в линейных комбинациях являются элементы множества \{0,1\}, поэтому речь идет на самом деле просто о всевозможных суммах циклов.

Остовный подграф, у которого степени всех вершин четны, называется квазициклом. Оказывается, множество C[G] состоит в точности из всех квазициклов графа G. Прежде чем доказать это, покажем сначала, что множество всех квазициклов замкнуто относительно сложения.

Лемма 1. Сумма двух квазициклов есть квазицикл.

Доказательство. Пусть H_{1} и H_{2} - квазициклы. Рассмотрим произвольную вершину a\in V, и пусть ее степени в H_{1} и H_{2} равны соответственно d_{1} и d_{2}. Тогда степень вершины a в графе H_{1} \oplus H_{2} будет равна d=d_{1}+d_{2} -2d_{1,2}, где d_{1,2} - число вершин, с которыми a смежна в обоих графах H_{1} и H_{2}. Отсюда видно, что число d четно, если четны оба числа d_{1} и d_{2}.

Следующая лемма объясняет строение квазициклов.

Лемма 2. Любой квазицикл с непустым множеством ребер является объединением простых циклов, не имеющих общих ребер.

Доказательство. В квазицикле H в любой компоненте связности, состоящей не менее чем из двух вершин, степени всех вершин не меньше 2, следовательно, в нем есть цикл, а, значит, и простой цикл. Взяв какой-нибудь простой цикл в H и удалив его ребра из H, снова получим квазицикл. Если в этом новом квазицикле есть хотя бы одно ребро, то в нем также имеется простой цикл, и т.д. В конце концов, когда останется пустой граф, будет построено семейство простых циклов, не имеющих общих ребер и в совокупности содержащих все ребра графа H.

Теорема 1. Граф принадлежит множеству C[G] тогда и только тогда, когда он является квазициклом графа G.

Доказательство. Всякий цикл является квазициклом. Так как элементы C[G] - это суммы циклов, то, по лемме 1, все они - квазициклы. Обратное утверждение (каждый квазицикл принадлежит C[G] ) следует из леммы 2, так как объединение циклов, не имеющих общих ребер, совпадает с их суммой.

< Лекция 6 || Лекция 7: 1234 || Лекция 8 >
Петр Петров
Петр Петров

произведение графов К(2)*О(4) фактически 4 отдельных графа К(2)?

Александр Лаврентьев
Александр Лаврентьев

много инструкций вида if - then - else

Например Procedure DFS(a) опишите каким образом следует понимать вложенность инструкций. Как в языке С ? 

т.е. следующее 

if (...) then (...)

if (...) then (...)

else(...)

 

раскрывается как 

if (...) then (...)

if (...) then (...)

         else(...)

или так :

if (...) then

 {  (...)

     if (...) then (...)

              else(...)

}

обьясните пожалуйста.

 

 

Дмитрий Крюков
Дмитрий Крюков
Россия, Москва
Андрей Посохов
Андрей Посохов
Россия, Санкт-Петербург