Нижегородский государственный университет им. Н.И.Лобачевского
Опубликован: 27.09.2006 | Доступ: свободный | Студентов: 3534 / 125 | Оценка: 4.44 / 4.11 | Длительность: 13:45:00
Специальности: Программист, Математик
Лекция 3:

Важнейшие классы графов

< Лекция 2 || Лекция 3: 1234 || Лекция 4 >

Планарные графы

Геометрический граф - это плоская фигура, состоящая из вершин - точек плоскости и ребер - линий, соединяющих некоторые пары вершин. Всякий граф можно многими способами представить геометрическим графом, и мы уже не раз пользовались этой возможностью. На рис. 3.6 показаны два геометрических графа \Gamma_{1} и \Gamma _{2}, представляющих, как нетрудно проверить, один и тот же обыкновенный граф. Простое устройство этого графа, очевидное на изображении слева, не так легко обнаружить, рассматривая изображение справа. Главная причина этого в том, что в \Gamma_{1} ребра не имеют "лишних" пересечений.


Рис. 3.6.

Геометрический граф, в котором никакие два ребра не имеют общих точек, кроме инцидентной им обоим вершины, называют плоским графом, а по отношению к представляемому им обыкновенному графу - его плоской укладкой. Не каждый граф допускает плоскую укладку. Граф, для которого существует плоская укладка, называется планарным графом. Кроме удобства визуального анализа, есть немало поводов, в том числе и сугубо практических, для интереса к планарным графам и их плоским укладкам.

Если плоскость разрезать по ребрам плоского графа, она распадется на связные части, которые называют гранями. Всегда имеется одна неограниченная внешняя грань, все остальные грани называются внутренними. Если в плоском графе нет циклов, то у него имеется только одна грань. Если же циклы есть, то граница каждой грани содержит цикл, но не обязательно является циклом. На рис. 3.7 показан плоский граф с пятью занумерованными гранями. Граница грани с номером 3 состоит из двух циклов, а граница грани с номером 2 кроме цикла длины 5 включает еще дерево из трех ребер.


Рис. 3.7.

Множества ребер, образующие границы граней, могут быть разными для разных плоских укладок одного и того же графа. На рис. 3.8 показаны две плоские укладки одного графа. В левой укладке есть две грани, границы которых являются простыми циклами длины 5. В правой укладке таких граней нет, но есть грани, ограниченные циклами длины 4 и 6. Однако число граней, как показывает следующая теорема, не зависит от укладки, т.е. является инвариантом планарного графа.


Рис. 3.8.

Теорема 6 (формула Эйлера). Количество граней в любой плоской укладке планарного графа, имеющего n вершин, m ребер и k компонент связности, равно m-n+k+1.

Доказательство.

Докажем сначала утверждение теоремы при k=1. Рассмотрим связный плоский граф G. Если в нем нет циклов, то имеется единственная грань, а m=n-1, и формула верна. Если же есть хотя бы один цикл, то возьмем какое-нибудь ребро e, принадлежащее простому циклу C. Это ребро принадлежит границе двух граней, одна из которых целиком лежит внутри цикла C, другая - снаружи. Если удалить ребро e из графа, эти две грани сольются в одну. Граф G_{1}, полученный из графа G удалением ребра e, очевидно, будет плоским и связным, в нем на одно ребро и на одну грань меньше, чем в G, а число вершин осталось прежним. Если в G_{1} еще есть циклы, то, удалив еще одно цикловое ребро, получим граф G_{2}. Будем продолжать удаление цикловых ребер до тех пор, пока не получится связный плоский граф G_{r} без циклов, т.е. дерево. У него n-1 ребро и единственная грань. Значит, всего было удалено r=m-n+1 ребер, а так как при удалении каждого ребра число граней уменьшалось на единицу, то в исходном графе было m-n+2 грани. Таким образом, формула верна для любого связного плоского графа. Если граф несвязен, то в компоненте связности, имеющей n_{i} вершин и m_{i} ребер, как доказано выше, будет m_{i}-n_{i}+1 внутренняя грань. Суммируя по всем компонентам и прибавляя 1 для учета внешней грани, убеждаемся в справедливости формулы в общем случае.

Следствие 1. Если в планарном графе n вершин, n\ge 3, и m ребер, то m\le 3(n-2).

Доказательство.

Если в графе нет циклов, то m=n-k и неравенство выполняется при n\ge 3. Рассмотрим плоский граф G с r гранями, в котором имеются циклы. Занумеруем грани числами от 1 до r и обозначим через a_{i} количество ребер, принадлежащих грани с номером i. Так как граница каждой грани содержит цикл, то a_{i} \ge 3 для каждого i, следовательно, \sum _{i=1}^{r}a_{i} \ge 3r. С другой стороны, каждое ребро принадлежит границе не более чем двух граней, поэтому \sum_{i=1}^{r}a_{i} \le 2m. Из этих двух неравенств следует, что 3r\le 2m. Применяя формулу Эйлера, получаем m\le 3n-3k-3\le 3n-6.

Следствие 1 дает необходимое условие планарности, которое в некоторых случаях позволяет установить, что граф не является планарным. Рассмотрим, например, полный граф K_{5}. У него n=5, m=10, и мы видим, что неравенство из следствия 1 не выполняется. Значит, этот граф непланарен. В то же время существуют графы, не являющиеся планарными, для которых неравенство следствия 1 выполняется. Пример - полный двудольный граф K_{3,3}. У него 6 вершин и 9 ребер. Неравенство выполняется, но мы сейчас установим, что он непланарен. Заметим, что в этом графе нет циклов длины 3 (так как он двудольный, в нем вообще нет циклов нечетной длины). Поэтому граница каждой грани содержит не менее четырех ребер. Повторяя рассуждения из доказательства следствия 1, но используя неравенство a_{i} \ge 4 вместо a_{i} \ge 3, получаем следующий результат:

Следствие 2. Если в планарном графе n вершин, n\ge 3, m ребер и нет циклов длины 3, то m\le 2(n-2).

Для графа K_{3,3} неравенство следствия 2 не выполняется, и это доказывает, что он непланарен.

Известно несколько критериев планарности, сформулируем без доказательства два из них. Два графа называют гомеоморфными,если из них с помощью подразбиения ребер можно получить изоморфные графы. На рис. 3.9 изображены гомеоморфные графы.


Рис. 3.9.

Сформулируем без доказательства два критерия планарности.

Теорема 7 (критерий Понтрягина-Куратовского). Граф планарен тогда и только тогда, когда у него нет подграфов, гомеоморфных K_{5} или K_{3,3}.

Граф G называется стягиваемым к графу H, если H можно получить из G последовательностью операций стягивания ребер.

Теорема 8 (критерий Вагнера). Граф планарен тогда и только тогда, когда у него нет подграфов, стягиваемых к K_{5} или K_{3,3}.

Отметим, что, несмотря на внешнее сходство двух теорем, фигурирующие в них понятия гомеоморфизма и стягиваемости существенно различаются. На рис. 3.10 изображен граф, который называют графом Петерсена. В нем нет подграфа, гомеоморфного K_{5}, так как в графе K_{5} каждая вершина имеет степень 4, а в графе Петерсена степень каждой вершины равна 3. При удалении вершин и ребер и подразбиении ребер степени вершин не увеличиваются. В то же время легко видеть, что граф Петерсена можно превратить в K_{5} стягиванием пяти ребер.


Рис. 3.10.
< Лекция 2 || Лекция 3: 1234 || Лекция 4 >
Петр Петров
Петр Петров

произведение графов К(2)*О(4) фактически 4 отдельных графа К(2)?

Александр Лаврентьев
Александр Лаврентьев

много инструкций вида if - then - else

Например Procedure DFS(a) опишите каким образом следует понимать вложенность инструкций. Как в языке С ? 

т.е. следующее 

if (...) then (...)

if (...) then (...)

else(...)

 

раскрывается как 

if (...) then (...)

if (...) then (...)

         else(...)

или так :

if (...) then

 {  (...)

     if (...) then (...)

              else(...)

}

обьясните пожалуйста.

 

 

Дмитрий Крюков
Дмитрий Крюков
Россия, Москва
Андрей Посохов
Андрей Посохов
Россия, Санкт-Петербург