Нижегородский государственный университет им. Н.И.Лобачевского
Опубликован: 27.09.2006 | Доступ: свободный | Студентов: 3533 / 125 | Оценка: 4.44 / 4.11 | Длительность: 13:45:00
Специальности: Программист, Математик
Лекция 1:

Начальные понятия теории графов

Лекция 1: 12345 || Лекция 2 >

Графы и бинарные отношения

Напомним, что бинарным отношением на множестве A называется любое подмножество R множества A^{2}, состоящего из всевозможных упорядоченных пар элементов множества A. Каждому такому отношению можно поставить в соответствие граф отношения G=(A,R). Сравнивая с тем, что говорилось выше об определениях различных типов графов, видим, что понятие бинарного отношения эквивалентно понятию ориентированного графа с петлями. Другие типы графов без кратных ребер - это частные виды бинарных отношений. Отношение R называется рефлексивным, если для любого x\in A пара (x,x) принадлежит R, и антирефлексивным, если ни одна такая пара не принадлежит R. Отношение называется симметричным, если из \left(x,y\right)\in R следует, что \left(y,x\right)\in
R. В графе антирефлексивного и симметричного отношения нет петель и для каждой пары вершин либо нет ни одного, либо есть два ребра, соединяющих эти вершины. Если в таком графе каждую пару ориентированных ребер, соединяющих одни и те же две вершины, заменить одним неориентированным ребром, то получится обыкновенный граф.

Откуда берутся графы

Легко найти примеры графов в самых разных областях науки и практики. Сеть дорог, трубопроводов, электрическая цепь, структурная формула химического соединения, блок-схема программы - в этих случаях графы возникают естественно и видны "невооруженным глазом". При желании графы можно обнаружить практически где угодно. Это наглядно показано в книге Д.Кнута [D.E.Knuth, "The Stanford GraphBase"] - графы извлекаются из романа "Анна Каренина", из картины Леонардо да Винчи, из материалов Бюро Экономического Анализа США и из других источников.

Немало поводов для появления графов и в самой математике. Наиболее очевидный пример - любой многогранник в трехмерном пространстве. Вершины и ребра многогранника можно рассматривать как вершины и ребра графа. При этом мы отвлекаемся от того, как расположены элементы многогранника в пространстве, оставляя лишь информацию о том, какие вершины соединены ребрами. На рис. 1.4 показаны три способа изобразить один и тот же граф трехмерного куба.


Рис. 1.4.

Еще один способ образования графов из геометрических объектов иллюстрирует рис. 1.5. Слева показаны шесть кругов на плоскости, а справа - граф, в котором каждая вершина соответствует одному из этих кругов и две вершины соединены ребром в том и только том случае, когда соответствующие круги пересекаются. Такие графы называют графами пересечений. Можно построить граф пересечений семейства интервалов на прямой, или дуг окружности, или параллелепипедов. Вообще, для любого семейства множеств \{S_{1}\dots S_{n}\} можно построить граф пересечений с множеством вершин \{1\dots n\}, в котором ребро (i,j) имеется тогда и только тогда, когда i\ne j и S_{i} \cap S_{j} \ne
\varnothing. Известно, что любой граф можно представить как граф пересечений некоторого семейства множеств.


Рис. 1.5.

Число графов

Возьмем какое-нибудь множество V, состоящее из n элементов, и будем рассматривать всевозможные (обыкновенные!) графы с множеством вершин V. Обозначим число таких графов через g_{n}. Эти графы различаются только множествами ребер, а каждое ребро - это неупорядоченная пара различных элементов из V. В комбинаторике такие пары называются сочетаниями из n по 2, их число равно

\begin{pmatrix}{n}\\
{2} \end{pmatrix}=\frac{n\left(n-1\right)}{2}
Каждая пара может быть включена или не включена в множество ребер графа. Применяя правило произведения, приходим к следующему результату:

Теорема 1. g_{n} =2^{n(n-1)/2}.

Смежность, инцидентность, степени

Если в графе имеется ребро e=(a,b), то говорят, что вершины a и b смежны в этом графе, ребро e инцидентно каждой из вершин a, b, а каждая из них инцидентна этому ребру.

Множество всех вершин графа, смежных с данной вершиной a, называется окрестностью этой вершины и обозначается через V(a).

На практике удобным и эффективным при решении многих задач способом задания графа являются так называемые списки смежности. Эти списки могут быть реализованы различными способами в виде конкретных структур данных, но в любом случае речь идет о том, что для каждой вершины a перечисляются все смежные с ней вершины, т.е. элементы множества V(a). Такой способ задания дает возможность быстрого просмотра окрестности вершины.

Число вершин, смежных с вершиной a, называется степенью вершины a и обозначается через \deg
\left(a\right).

Если сложить степени всех вершин некоторого графа, то каждое ребро внесет в эту сумму вклад, равный 2, поэтому справедливо следующее утверждение:

Теорема 2. \suml_{a\in VG}\deg (a) =2m\left(G\right).

Это равенство известно как "лемма о рукопожатиях". Из него следует, что число вершин нечетной степени в любом графе четно.

Вершину степени 0 называют изолированной.

Граф называют регулярным степени d, если степень каждой его вершины равна d.

Набор степеней графа - это последовательность степеней его вершин, выписанных в неубывающем порядке.

Лекция 1: 12345 || Лекция 2 >
Петр Петров
Петр Петров

произведение графов К(2)*О(4) фактически 4 отдельных графа К(2)?

Александр Лаврентьев
Александр Лаврентьев

много инструкций вида if - then - else

Например Procedure DFS(a) опишите каким образом следует понимать вложенность инструкций. Как в языке С ? 

т.е. следующее 

if (...) then (...)

if (...) then (...)

else(...)

 

раскрывается как 

if (...) then (...)

if (...) then (...)

         else(...)

или так :

if (...) then

 {  (...)

     if (...) then (...)

              else(...)

}

обьясните пожалуйста.

 

 

Дмитрий Крюков
Дмитрий Крюков
Россия, Москва
Андрей Посохов
Андрей Посохов
Россия, Санкт-Петербург