НОУ ИНТУИТ | Введение в алгебру. Лекция 3: Кольца. Поля. Идеалы и гомоморфизмы колец

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова

Опубликован: 09.09.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 5296 / 587 | Оценка: 4.35 / 3.78 | Длительность: 13:51:00

ISBN: 978-5-9556-0038-3

Тема: Математика

Специальности: Математик

Теги: beta, алгебра, алгоритмы, гомоморфизм групп, гомоморфизм группоидов, группоид, изоморфизм группоидов, инъекция, коэффициентами системы, моноид, полугруппа, расширенная матрица, старший коэффициент, элементы

|

Вам нравится? Нравится 66 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

Идеалы и гомоморфизмы колец

Определение 1.12.1. Пусть R - кольцо. Подмножество $\emptyset\ne I\subset R$ называется левым идеалом кольца R, если:

I - подгруппа аддитивной группы (R,+) кольца R ;
$rI\subseteq I$ для любого элемента $r\in R$ (т. е. $ri\in I$ для всех $i\in I$ ).

Аналогично определяется правый идеал: вместо 2) условие

2') $Ir\subseteq I$ для любого элемента $r\in R$ (т. е. $ir\in I$ для всех $i\in I$ ).

Если подмножество I в кольце R является и левым и правым идеалом, то I называется двусторонним идеалом кольца R (т. е. I - подгруппа в (R,+), $rI\subseteq I$ , $Ir\subseteq I$ для всех $r\in R$ ). Для двустороннего идеала I кольца R будем использовать обозначение $I\lhd R$ .

Примеры 1.12.2.

{0} и R - идеалы кольца R.
$Z n\lhd Z$ для любого $n\in Z$ .
$I_a=\{f\in C[0,1]\mid f(a)=0\}\lhd C[0,1]$ для любого $a\in [0,1]$ .
Если R - коммутативное кольцо, $a\in R,$ то подмножество $Ra=\{ra\mid r\in R\}$ является идеалом кольца R, называемым главным идеалом, порожденным элементом $a\in R$ .

Упражнение 1.12.3. Покажите, что в кольце целых чисел $(Z,{+},{\cdot})$ каждый идеал имеет вид Z n, $n\inZ$ , т. е. каждый идеал является главным (такие коммутативные кольца называются кольцами главных идеалов).

Пусть R и R' - кольца. Отображение $f: R\to R'$ называется гомоморфизмом колец, если f(a+b)=f(a)+f(b) и f(ab)=f(a)f(b) для всех $a,b\in R$ .

Через Im f обозначим образ гомоморфизма f, т. е. $\text{Im} f =\{f(r)\in R'\mid r\in R\};$ через Ker f - ядро гомоморфизма f, т. е. $\text{Ker} f=\{a\in R\mid f(a)=0\}$ . Если гомоморфизм f является биекцией, то f называется изоморфизмом колец .

Отметим ряд свойств гомоморфизмов колец $f: R\to R'$ .

Так как f - гомоморфизм абелевых групп (R,+), (R',+), то f(0)=0', f(-a)=-f(a).
Если $R \ni 1$ , $R' \ni 1'$ и $\text{Im} f=R'$ , то f(1)=1', f(a^-1)=f(a)^-1 для обратимого элемента a. Действительно, если $a'\in R'$ , то a'=f(a), $a\in R$ . Тогда $\begin{align*} f(1)a' &= f(1)f(a)=f(1\cdot a)=f(a)=a',\\ a'f(1) &= f(a)f(1)=f(a\cdot 1)=f(a)=a', \end{align*}$ т. е. f(1)=1' ;f(a^-1)f(a) = f(a^-1a)=f(1)=1', f(a)f(a^-1) = f(aa^-1)=f(1)=1', т. е. f(a^-1)=f(a)^-1.

Это утверждение может не быть верным, если $\text{Im} f\ne R'$ .
Если $f: R\to R'$ - гомоморфизм колец, то Ker f - двусторонний идеал кольца R.
Доказательство. Так как $f: (R,{+})\to (R',{+})$ - гомоморфизм групп, то Ker f - подгруппа в (R,+).

Если $a\in\text{Ker} f$ , т. е. f(a)=0, $r,s\in R$ , то
$\begin{align*} f(ra)&=f(r)f(a)=f(r)\cdot 0=0,\\ f(as)&=f(a)f(s)=0\cdot f(s)=0, \end{align*}$
итак, $ra\in\text{Ker} f$ , $as\in\text{Ker} f$ , т. е. $\text{Ker} f\lhd R$ .
Гомоморфизм колец $f: R\to R'$ является изоморфизмом тогда и только тогда, когда $\text{Ker} f=\{0\}$ и $\text{Im} f=R'$ (следует вспомнить критерий изоморфизма для гомоморфизмов групп, см. лемму 1.9.29).
Ясно, что изоморфные кольца обладают одинаковыми кольцевыми свойствами. Например, если $f: R\to R'$ - изоморфизм колец, R - поле, то R' также поле.