НОУ ИНТУИТ | Структуры данных и модели вычислений. Лекция 3: Разделенные множества

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 26.09.2006 | Доступ: свободный | Студентов: 1800 / 485 | Оценка: 4.25 / 4.12 | Длительность: 17:09:00

ISBN: 978-5-9556-0066-6

Тема: Алгоритмы и дискретные структуры

Специальности: Программист, Математик

|

Вам нравится? Нравится 19 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

Представление разделенных множеств с использованием рангов вершин

Предыдущую реализацию разделенных множеств можно усовершенствовать следующим образом. Операцию ОБЪЕДИНИТЬ можно выполнить так, чтобы высота дерева, соответствующего объединению двух множеств, была как можно меньше. А именно, корень большего по высоте дерева сделать родителем корня другого дерева. Назовем такую реализацию операции ОБЪЕДИНИТЬ объединением по рангу. В качестве ранга в данном случае берется высота соответствующего дерева.

Реализация операций с использованием рангов вершин

Для такой реализации разделенных множеств необходимо хранить с каждым узлом дополнительно еще одну величину — высоту поддерева, корнем которого является узел . Будем называть ее высотой, или рангом, узла . Остальные операции нужно настроить на корректную работу с этим полем. Будем хранить высоту каждого узла в ячейке h[x] массива .

Операция СОЗДАТЬ ( ) назначает в качестве родителя узла тот же самый , а высотой узла считает 0. Таким образом, время выполнения данной операции есть O(1) . В результате выполнения операции СОЗДАТЬ ( ) образуется новое дерево, изображенное на рис. 3.6. Число, расположенное рядом с узлом, обозначает его высоту. Описанные действия реализуются с помощью операторов

$\formula{ p[x]:= x;\ h[x]:= 0; }$

Рис. 3.6.

Операция ОБЪЕДИНИТЬ ( x, y ) назначает корень большего по высоте дерева родителем корня другого дерева. Если деревья имеют одинаковую высоту, то узел назначается родителем узла , после чего значение высоты узла увеличивается на единицу. Заметим, что и должны быть до выполнения операции корнями соответствующих деревьев. Именем вновь образованного подмножества будет имя того из объединяемых подмножеств, у которого корень имел большую высоту, а имя другого из объединяемых подмножеств перестанет быть именем какого-либо из подмножеств. Очевидно, время выполнения этой операции есть константа. Выполнить описанные действия можно с помощью следующей процедуры:

$\formula{ \t{Procedure ОБЪЕДИНИТЬ (x, y)};\\ \t begin\\ \mbox{}\q if (h[x] < h[y])\ \t then\ p[x] := y\ \t else if\ (h[x] > h[y])\ \t then\ p[y] := x\ \t else\\ \mbox{}\qq \{p[x] := y;\ h[y] := h[y] + 1\}\\ \t end; }$

На рис. 3.7 и рис. 3.8 показано применение операции ОБЪЕДИНИТЬ (3,6) к коллекции, изображенной на рис. 3.3, с учетом высот объединяемых поддеревьев. Рядом с кружочками, изображающими узлы, показаны их высоты. Так как h(3) = 2 > h(6) = 1 , то родителем узла 6 становится узел 3.

Операция НАЙТИ ( x,y ) осуществляется, как и в предыдущей реализации, продвижением по указателям на родителей от узла до корня дерева. В качестве берется найденный корень.

Рис. 3.7.

Рис. 3.8.

Очевидно, что время выполнения данной операции, как и ранее, пропорционально длине пути из узла в корень соответствующего дерева. Однако длина такого пути в данном случае может быть оценена иначе. Для оценки длины этого пути докажем следующие леммы:

Лемма 1. В результате выполнения любой последовательности операций из набора $\{$ СОЗДАТЬ, ОБЪЕДИНИТЬ, НАЙТИ $\}$ над пустой коллекцией разделенных множеств для любого узла выполняется неравенство $n[x]\ge 2^{h(x)}$ , где n[x] — количество узлов в поддереве с корнем x, h[x] — высота узла .

Доказательство Очевидно, перед первым применением операции ОБЪЕДИНИТЬ для любого узла имели n[x] =
1 , h[x] = 0 и, следовательно, $n[x] \ge 2^{h(x)}$ . Операции СОЗДАТЬ и НАЙТИ не могут нарушить доказываемого неравенства, поэтому доказательство можно провести индукцией по количеству применений операции ОБЪЕДИНИТЬ.

Предположим, что перед очередным применением операции ОБЪЕДИНИТЬ ( x,y ) доказываемое неравенство все еще остается верным, тогда если высота узла меньше высоты узла , то дерево, полученное с помощью ОБЪЕДИНИТЬ ( x, y ), имеет корень , а высоты узлов и не изменились. Количество узлов в дереве с корнем не изменилось, а количество узлов в дереве с корнем увеличилось. Таким образом, как для узлов , , так и для всех остальных неравенство сохраняется. Случай, когда высота узла больше высоты узла , аналогичен рассмотренному.

Если же высоты деревьев с корнями и до выполнения операции были одинаковы ( h[x] = h[y] = h) , то узел становится родителем узла , высота узла увеличивается на 1, а высота узла не изменяется. Пусть после выполнения операции величины h[x] , h[y] , n[x] , n[y] становятся равными соответственно h'[x] , h'[y] , n'[x] , n'[y] , тогда имеем h'[y] = h [y] + 1 , h'[x] =
h[x] , n'[x] = n[x] , n'[y] = n[y] + n[x] . По предположению индукции, имеем $n[y] \ge 2^{h[y]}$ и $n[x] \ge 2^{h[x]}$ . Следовательно, после выполнения рассматриваемой операции для узлов и имеем соотношения

$\eqa*{ n'[x] & = n[x] \ge 2^{h[x]} = 2^{h' [x]}\q \t{и }\\ n'[y] & = n[y] + n[x] \ge 2^{h [y]} + 2^{h [x]} = 2^{h + 1} = 2^{h' [y]}. }$

Таким образом, утверждение леммы остается верным и в этом случае.

Лемма 2. Если за время работы, начавшейся с пустой коллекции, операция СОЗДАТЬ применялась раз, то для любого $h \ge 0$ число узлов высоты удовлетворяет неравенству $k \le n/2^h$ .

Доказательство Пусть $x_1,x_2\dts x_k$ — все узлы высоты , тогда по лемме 1 при $i \!=\! 1, 2\dts k$ справедливы неравенства ${n[x_i] \!\ge\! 2^h}$ . Таким образом,

$\eq*{ n \ge n[x_1] + n[x_2] + ... + n[x_k] \ge k2^h, }$

откуда и следует требуемое неравенство $k \le n/2^h$ .

Следствие 3. В результате выполнения любой последовательности операций из набора $\{$ СОЗДАТЬ, ОБЪЕДИНИТЬ, НАЙТИ $\}$ над пустой коллекцией разделенных множеств для любого узла имеет место неравенство $h[x] \le \log n$ .

Доказательство Дерево максимальной высоты образуется, очевидно, лишь тогда, когда все элементов объединяются в одно множество. Для такого дерева количество узлов максимальной высоты равно 1, по лемме 2 имеем $1 = k \le n/2^h$ , откуда $2^h \le n$ и, следовательно, $h \le \log n$ .

Следствие 4. Время выполнения операции НАЙТИ есть $O(\log n)$ .

Следствие 5. При реализации разделенных множеств с использованием рангов время выполнения операций ОБЪЕДИНИТЬ и или НАЙТИ есть величина $O(m\cdot \log n)$ .

Замечание При реализации операции объединения подмножеств в качестве ранга узла можно использовать количество узлов в поддереве с корнем в данном узле. Утверждение леммы 1 будет справедливым и в этом случае, следовательно, сохранятся и оценки времени выполнения операций.

Дальше >>

Авторизоваться

Структуры данных и модели вычислений

Разделенные множества

Представление разделенных множеств с использованием рангов вершин

Реализация операций с использованием рангов вершин

Вопросы и ответы