Явление жесткости. Определение жесткой системы. Пример жесткой системы – уравнение Ван-Дер-Поля. Особенности поля фазовых скоростей ЖС ОДУ Явные, неявные и диагонально неявные методы решения ЖС ОДУ. Их представление в виде таблицы Бутчера. Функция устойчивости метода Рунге-Кутты. A-устойчивость, L-устойчивость (асимптотическая устойчивость).

Функция устойчивости метода Рунге-Кутты. Построение функции устойчивости для модельной линейной задачи. Ее выражение через коэффициенты таблицы Бутчера. Жестко-устойчивые методы. Двухстадийные однократно о диагонально неявные методы второго и третьего порядка аппроксимации методов. ФДН-методы (многошаговые методы "формулы дифференцирования назад"). Их представление через неопределенные коэффициенты. Условия порядка для многошагового метода. Функция устойчивости многошагового метода для решения ЖС ОДУ.

Многошаговые методы в представлении Нордсика. Семейство методов Розенброка. Численное решение уравнений в частных производных. Уравнение теплопроводности. Постановка задачи для уравнения теплопроводности. Стационарное уравнение теплопроводности. Самосопряженная форма уравнения. Основные идеи метода конечных элементов.

Основные идеи метода конечных элементов. Вариационная форма метода конечных элементов (метод Ритца). Проекционная форма метода (метод Галеркина) Базисные функции метода конечных элементов с финитным носителем. Численное решение нестационарного уравнения теплопроводности. Простейшая явная схема.

Численное решение нестационарного уравнения теплопроводности. Простейшая явная схема. Шаблон разностной схемы. Исследование на аппроксимацию. Первое дифференциальное приближение разностной схемы (ПДП). Решение нестационарного уравнения теплопроводности методом конечных элементов. Устойчивость разностной схемы для уравнения теплопроводности. Каноническая форма записи двухслойной разностной схемы.

Устойчивость разностных схем. Спектральный признак устойчивости (фон Неймана). Неявная схема и схема Алена-Чена. Квазилинейное уравнение теплопроводности. Тестовая задача – задача Я.Б. Зельдовича о бегущей волне. Консервативные разностные схемы. Интегро-интерполяционный метод построения консервативных разностных схем.

Исследование нелинейной разностной схемы на устойчивость по принципу замороженных коэффициентов. Линеаризация схемы. Практический алгоритм исследования на устойчивость. Разностный оператор, поиск его собственных значений и собственный функций. Самосопряженный оператор и энергетическая норма. Устойчивость по начальным данным.

Энергетический признак устойчивости (А.А. Самарского) (продолжение). Энергетическое тождество. Необходимое и достаточное условие устойчивости разностной схемы. Исследование на устойчивость схемы Кранка–Никольсон. Разностные схемы для уравнения теплопроводности с несколькими пространственными переменными. Методы дробных шагов и переменных направлений (локально-одномерные).

Численное решение уравнений гиперболического типа. Простейшие разностные схемы для одномерного волнового уравнения. Спектральная устойчивость схем. Число Куранта. Характеристики. Области влияния. Условие устойчивости Куранта, Фридрихса и Леви. Система дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа. Характеристики системы.

Система дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа (продолжение). Характеристики системы. Инварианты Римана. Разностные схемы в инвариантах. Методы численного решения уравнения переноса. Простейшие схемы – явный левый уголок, явный правый уголок, схема Лакса, схема с центральной разностью. Диссипативная и дисперсионная ошибка. Первое дифференнциальное приближение, Г-форма и П-форма ПДП. Монотонные разностные схемы. Теорема С.К. Годунова (без доказательства). Построение разностных схем с помощью метода неопределенных коэффициентов. Понятие о гибридных схемах.

Построение разностных схем с помощью метода неопределенных коэффициентов. Понятие о гибридных схемах (продолжение). Численные методы решения квазилинейных уравнений гиперболического типа (на примере уравнения Хопфа). Градиентная катастрофа. Дивергентные формы записи квазилинейных уравнений. Консервативные схемы.

Численные методы решения уравнений эллиптического типа. Простейшая разностная схема "крест" для уравнений Лапласа или Пуассона в прямоугольной области. Устойчивость разностной схемы. Сеточный принцип максимума. Итерационные методы решения систем сеточных уравнений. Понятие о многосеточном методе (Р.П. Федоренко).

Численные методы решения уравнений эллиптического типа (окончание). Схемы бегущего счета для уравнения теплопроводности (схема Саульева). Обобщение на многомерный случай – попеременно-треугольный итерационный метод (ПТИМ) для эллиптических уравнений. Теорема о сходимости ПТИМ (без доказательства). Обзор важных тем, оставшихся за рамками лекционного курса.