Характеристическая форма уравнений. Дивергентная форма уравнений. Сохранение дивергентной формы при преобразовании независимых переменных. Продолженные (расширенные) системы.

Постановка краевых условий. Примеры СУГТ – линейное уравнение 2-го порядка, уравнения газовой динамики и др. Их характеристическая и дивергентная формы.

Простейшее уравнение переноса (УП). Разностные схемы для УП в пространстве неопределенных коэффициентов. Условия аппроксимации и устойчивости. Некоторые методы регуляризации численных решений. Примеры простейших разностных схем.

Критерии монотонности разностных схем (Фридрихса, Годунова, Хартена, Ван Лира). Монотонные по Фридрихсу схемы в пространстве неопределенных коэффициентов (схемы с положительной аппроксимацией). Схемы повышенного порядка аппроксимации для уравнения переноса. Невозможность построения линейных, монотонных по Фридрихсу схем с порядком аппроксимации выше первого (теорема Годунова).

Наименее осциллирующие на разрывах схемы высокого порядка аппроксимации. Гибридные (TVD) схемы. Схемы повышенного порядка аппроксимации для уравнения переноса на нерасширяющихся сеточных шаблонах. Метод параметрической коррекции разностных схем.

Монотонные по Ван Лиру схемы повышенного порядка аппроксимации в пространстве сеточных функций. Обобщение критериев монотонности на случай многослойных и неявных сеточных шаблонов. Монотонные по Ван Лиру схемы повышенного порядка аппроксимации для многослойных и нерасширяющихся сеточных шаблонов.

Обобщение разностных схем для уравнения переноса на случай квазилинейной системы уравнений гиперболического типа. Консервативные схемы.

Решение сеточных уравнений в случае неявных схем. Обобщение разностных схем для квазилинейной системы уравнений гиперболического типа на многомерный случай. Методы расщепления по пространственным переменным в случае канонической области интегрирования. Методы на неструктурированных сетках для решения в сложных, в том числе многосвязных областях.

Расщепление по "физическим процессам". Примеры: автомодельная задача о бегущей волне, одномерные уравнения Навье-Стокса. Постановка краевых задач. Разностные схемы для простейшего уравнения теплопроводности. Условия аппроксимации и устойчивости.

Разностные схемы для простейшего уравнения теплопроводности в пространстве неопределенных коэффициентов. Монотонные схемы (схемы с положительной аппроксимацией) с порядком аппроксимации O(dt,dr^2) и O(dt^2,dr^2). Обобщение разностных схем для уравнения теплопроводности на случай квазилинейных уравнений и систем параболического типа.

Обобщение разностных схем для квазилинейной системы уравнений параболического типа на многомерный случай. Методы расщепления по пространственным переменным.

Методы на неструктурированных сетках для решения систем уравнений параболического типа в сложных, в том числе многосвязных областях интегрирования.

Простейшее уравнение эллиптического типа и его разностные аппроксимации. Схемы с положительной аппроксимацией в случае регулярных и нерегулярных (неструктурированных) сеток.

Системы уравнений гиперболического типа на графах (переходные ударно-волновые процессы в сетях). Примеры сетевых вычислительных моделей: уравнения мелкой воды, интенсивного дорожного движения, электроэнергетических сетей, дыхательной и кровеносной систем человека. Примеры расчетов модельных уравнений различными схемами: явная схема Куранта–Изаксона–Риса и ее консервативные варианты. Схемы П.Лакса, Лакса–Вендроффа, Маккормака, Бима–Уорминга, Русанова, трехслойная схема Головизнина. Неявные схемы Карлсона, Ландау–Меймана–Халатникова, Бабенко. Гибридные схемы и схемы со сглаживанием (Федоренко, Бориса – Бука, TVD-схемы). Высокоточные нелинейные монотонные схемы. Некоторые задачи, моделируемые уравнениями магнитогазодинамики, упруго-деформируемых тел и др.