Лекции:

Дополнительные материалы:

9. Лекция: Применение вариационных принципов для построения разностных схем

Страницы: 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | вопросы | »

Если Вы заметили ошибку - сообщите нам или выделите ее и нажмите Ctrl+Enter

В необязательной лекции приводятся примеры использования вариационных принципов Лагранжа и Гамильтона для построения разностных схем на основе вариации дискретного аналога лагранжиана (гамильтониана) системы. В Приложении на примере решения конкретной задачи по проектированию установки рассмотрены основные схемы распараллеливания численных методов

Содержание

Вариационный принцип Ритца, позволяющий получить МКЭ для уравнений в частных производных эллиптического типа, в том числе и на нерегулярных сетках, рассматривался в лекции 7. Далее для решения нестационарных задач в основном использовался проекционный вариант МКЭ (метод Галеркина). Тем не менее, многие задачи математической физики допускают вариационную постановку. Некоторые величины и законы сохранения могут играть особую роль для задач (пример — закон сохранения гамильтониана для консервативной системы). Необходимы разностные схемы (или численные методы), позволяющие учитывать специфику задачи и вариационные постановки.

Сделать это можно двумя способами. Первый — использовать вариационные принципы для дискретных аналогов соответствующих функционалов. При этом обычно получаются консервативные схемы. Второй способ — построение разностных схем обычными методами (конечных разностей), а затем их модификация, направленная на минимизацию погрешности аппроксимации законов сохранения.

Рассмотрим первый (вариационный) подход.

9.1. Пример использования принципа наименьшего действия (Гамильтона)

Рассматривается задача о движении твердого нерастяжимого стержня длиной 1. Пусть он закреплен в точке 0, а на другой конец стержня действует сила ${\mathbf{F}}(t)$ (рис. 9.1). Требуется определить движение стержня. Начальная форма стержня считается заданной.

Рис. 9.1.

Возможное решение: записать уравнение движения — получится уравнение гиперболического типа; поставить граничные условия; построить разностную схему. Но в задаче допускаются сколь угодно большие колебания стержня.

Другой способ приближенного решения. Введем $\theta$ — угол отклонения от оси x — как функцию длины дуги s, времени t. Тогда имеем

$\begin{gather*} x = \int\limits_0^{s}{\cos \theta (s^{\prime}, t)ds^{\prime}}, \\ y = \int\limits_0^{s}{{\sin}\theta (s^{\prime}, t)ds^{\prime}}. \end{gather*}$

Кинетическая энергия стержня есть

$T = \int\limits_0^1 {\left({\frac{{V_x^2}}{2} + \frac{{V_y^2}}{2}}\right)ds} = \frac{1}{2} \int\limits_0^1 {\left({\left[{\frac{{\partial}x}{{\partial}t}}\right]^2 + \left[{\frac{{\partial}y}{{\partial}t}}\right]^2}\right)ds},$

а потенциальная энергия складывается из упругой энергии (изгиба) и работы внешней силы ${\mathbf{F}}(t)$ :

$U = \int\limits_0^1 {\left({\frac{{{\partial}\theta (s, t)}} {{{\partial}s}}}\right)^2 ds} - F_x x(1, t) - F_y y(1, t)$

(соответствующие коэффициенты полагаются равными 1 ).

Лагранжиан системы есть L = T - U, так что

$\begin{gather*} L = \frac{1}{2} \int\limits_0^1 {\int\limits_0^{s}{\{\dot \theta ^2 {\sin}^2 \theta + \dot \theta ^2 \cos ^2 \theta \} d \xi } ds} - \frac{1}{2} \int\limits_0^1 {\left({\frac{{{\partial}\theta }}{{{\partial}s}}}\right)^2 ds} - \\ - F_x \int\limits_0^1 {\cos \theta ds} - F_y \int\limits_0^1 {{\sin}\theta ds} . \end{gather*}$

Согласно принципу Гамильтона, функционал действия достигает экстремального значения на истинном движении. Отсюда следует, что

$\frac{d}{dt} \left({\frac{{{\partial}L}}{{{\partial}\dot \theta }}} \right) - \frac{{{\partial}L}}{{{\partial}\theta }} = 0$

и получается уравнение движения для $\theta:$

$\begin{gather*} \int\limits_0^1 {G \cos (\theta (s, t) - \theta ({\sigma}, t)) \ddot \theta ({\sigma}, t)d {\sigma}} = {\theta}^{\prime\prime}(s, t) + F_y {\sin}\theta - F_x \cos \theta - \\ - \int\limits_0^1 {G {\sin}(\theta (s, t) - \theta ({\sigma}, t)) \dot \theta ^2 ({\sigma}, t)d {\sigma}} . \\ \theta (0, t) = 0; \quad \theta^{\prime}(0, t) = 0; \\ G(s, {\sigma}) = \left\{ \begin{array}{ccc} {1 - s;} & {{\sigma} < s, } & {0 \le s \le 1;} \\ {1 - {\sigma};} & {s \le {\sigma}, } & {0 \le {\sigma}\le 1.} \\ \end{array} \right. \end{gather*}$

Дальше »

Страницы: 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | вопросы | »

для печати и PDA

Содержание

9.1. Пример использования принципа наименьшего действия (Гамильтона)

Вопросы и Ответы