Первая лекция носит вводный характер. На простейших примерах иллюстрируются понятия численного алгоритма, устойчивость и обусловленность задачи. На примере задачи численного дифференцирования вводится метод неопределенных коэффициентов для получения приближенных формул. Рассматривается некорректность задачи численного дифференцирования.

Рассматриваются наиболее употребительные приближенные методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Вводятся согласованные нормы векторов и матриц. Вычисляется число обусловленности в различных нормах. Анализируется влияние ошибок округления на погрешность результата. Дается понятие о спектральных задачах. Для самосопряженной матрицы рассматривается метод вращений поиска собственных значений

В лекции рассматриваются методы решения переопределенных систем уравнений. Обсуждается вопрос о выборе базиса на погрешность результата. Вкратце описываются итерационные методы решения плохо обусловленных систем линейных уравнений.

Рассматриваются наиболее употребительные методы поиска минимума функций нескольких переменных.

Рассматриваются численные методы решения нелинейных уравнений и систем. На основе принципа сжимающих отображений рассматриваются условия сходимости итерационных методов. Доказывается квадратичная сходимость метода Ньютона. Рассматривается задача о динамике простейшего нелинейного дискретного отображения - логистического. Дается понятие о бифуркациях дискретного отображения.

Рассматривается задача алгебраической интерполяции. Обусловленность задачи исследуется на основе рассмотрения константы Лебега. Доказывается теорема об остаточном члене интерполяции. Выводятся формулы алгебраической интерполяции с кратными узлами. Рассматривается задача гладкого восполнения функции (локальными и нелокальными сплайнами, а также естественный базис в пространстве сплайн - функций — B - сплайны.

Исследуются простейшие квадратурные формулы интерполяционного типа — прямоугольников, трапеций, Симпсона. Для оценки реальной погрешности формул используется правило Рунге. Дается понятие о квадратурных формулах Гаусса. Рассматриваются методы вычисления многомерных интегралов.

Подробно рассматриваются методы типа Рунге - Кутты, менее подробно — Адамса. Формулируются и доказываются утверждения об устойчивости методов Рунге - Кутты на устойчивых и нейтральных по устойчивости траекториях.

Дается понятие жесткой системы (ЖС ОДУ). Рассматриваются неявные методы Рунге - Кутты и Гира для решения ЖС ОДУ. Исследуется устойчивость методов.

Рассматриваются численные методы решения краевых задач. На примере линейных краевых задач иллюстрируется применение различных вариантов метода прогонки — дифференциальной прогонки, разностной трехточечной прогонки, пятиточечной прогонки, матричной прогонки, периодической прогонки. Для нелинейных краевых задач рассмотрены методы стрельбы и квазилинеаризации. Дается представление о методах решения спектральных задач (задач на собственные значения). Обсуждается вопрос о применении метода Фурье при решении краевых задач для разностных уравнений, аппроксимирующих исходную дифференциальную задачу.