Содержание

Проверка по отношению правдоподобия в случае трех решений

Рассмотрим случай, когда статистик руководствуется оценкой априорного распределения (17.6), задаваемой вероятностью $\zeta'$ из некоторого подынтервала $[\zeta_i, \zeta_{i+1})$ . Если при этом истинному распределению соответствует значение $\zeta''$ из того же подинтервала $[\zeta_i, \zeta_{i+1})$ , то ожидаемые потери $\rho_i(\zeta'')$ , определяемые функцией (18.26), совпадают с байесовским риском, поскольку значениям $\zeta'$ и $\zeta''$ соответствует одна и та же критическая область Q₁(i) из (18.17).

Возможно, однако, что истинное значение $\zeta''$ вероятности появления первого состояния природы принадлежит другому интервалу $[\zeta_j, \zeta_{j+1})$ , $j \ne i$ . Тогда байесовскому критерию относительно этого распределения соответствует другая критическая область Q₁(j) из (18.17) и, следовательно, байесовский риск $\rho(\zeta'')$ определяется выражением (18.21) при других вероятностях ошибок первого и второго рода. Поэтому может случиться, что ожидаемые потери $\rho_i(\zeta'')$ окажутся значительно больше потерь $\rho_j(\zeta'')$ , соответствующих байесовскому риску. Более того, они могут оказаться выше, чем максимально возможный байесовский риск $\rho^\circ$ из (18.27). Именно такой случай представлен на рис. 4.4.

Поэтому в случае неизвестного априорного распределения для состояний природы, целесообразно использовать минимаксную стратегию, которая гарантирует уровень ожидаемых потерь, не превышающий значения $\rho^\circ$ из (18.27).

В рассматриваемом классе задач такая стратегия может быть построена как случайная смесь двух чистых стратегий. Эти чистые стратегии задаются критическими областями Q₁(i-1) и Q₁(i). При этом номер i соответствует точке $\zeta_i$ , в которой достигается максимум функции $\rho(\zeta)$ , т.е. $\zeta_i = \zeta^\circ$ . Указанным областям Q₁(i-1) и Q₁(i) соответствуют функции $\rho_{i-1}(\zeta)$ и $\rho_i(\zeta)$ из (18.26), удовлетворяющие условиям

$\rho_{i-1}(\zeta^\circ) = \rho_i(\zeta^\circ) = \rho^\circ,$

(19.1)

$\beta_{i-1} - w \alpha_{i-1} > 0 > \beta_i - w \alpha_i.$

(19.2)

Пусть критическая область Q₁(i-1) используется с вероятностью $\gamma$ , а область Q₁(i) - с вероятностью $1- \gamma$ $(0\le \gamma \le 1)$ . Тогда ожидаемые потери статистика определяются взвешенной суммой

$E(\zeta, \gamma) = \gamma\rho_{i-1}(\zeta) + (1 - \gamma)\rho_i(\zeta).$

(19.3)

В силу (19.1) и 19.2, существует значение $\gamma^\circ$ , $0 < \gamma^\circ < 1$ , обеспечивающее выполнение равенств

$E(\zeta, \gamma^\circ) = \rho^\circ,\quad 0 \le \zeta \le 1.$

(19.4)

Следовательно, смешанная стратегия, определенная значением $\gamma^\circ$ из (19.4), является минимаксной стратегией статистика.

Подставим правую часть выражения (18.26) во взвешенную сумму (19.3). В полученном выражении приравняем к нулю коэффициент при $\zeta$ и из этого равенства выведем формулу для значения вероятности $\gamma^\circ$ , удовлетворяющего условию (19.4):

$\gamma^\circ = \frac{w \alpha_i - \beta_i}{p_1(z_i) + wp_2(z_i)}.$

(19.5)

При этом

$\rho^\circ = w[\alpha_i - \gamma^\circ p_2(z_i)].$

(19.6)

В качестве иллюстрации укажем, что для функции байесовских потерь, представленной на рис. 4.4, условие (19.2) выполняется для значения i=3 и, согласно (19.5) и (19.6), имеют место оценки $\gamma^\circ = 0{,}5$ и $\rho^\circ = 0{,}2$ . Следовательно, минимаксная стратегия для примера, характеризуемого данными из табл. 4.4, обеспечивается равновероятным использованием критических областей Q₁(2)={z₁,z₂}, и Q₁(3)= {z₁,z₂,z₃}.

Замечание 4.4. Поскольку $Q_1(i-1) \subset Q_1(i)$ , то попадание выборочной точки z в критическую область Q₁(i-1) ведет к отвержению нуль-гипотезы независимо от того, какой из двух критериев будет выбран рулеткой, соответствующей рассмотренной смешанной стратегии. Принятие нуль-гипотезы при появлении любого исхода z_j, $i < j\le N$ , также не зависит от результата случайного выбора критериев. Случайный выбор оказывается существенным лишь в случае, когда исходом испытания является значение z_i, поскольку $z_i \not\in Q_1(i-1)$ и $z_i \in Q_1(i)$ .

Поэтому естественно задавать процедуру случайного выбора с помощью набора условных распределений вида

$\eta_z = (\eta(1/z), \eta(2/z)) \in S_2,\quad z \in Z,$

(19.7)

где $\eta(1/z)$ есть вероятность отвержения нуль-гипотезы после наблюдения выборочной точки $z$ , а $\eta(2/z)$ есть вероятность ее принятия при том же условии. При этом набор (19.7) условных распределений $\eta_z$ , обеспечивающий реализацию указанной процедуры, определяется следующими условиями (эти условия гарантируют тот же уровень ожидаемых потерь, что и рассмотренная выше минимаксная стратегия):

$\eta(1/z_j) = \left\{ \begin{aligned} & 1, && 1 \le j < i,\\ & 1-\gamma^\circ, && i=j,\\ & 0, && i < j \le N, \end{aligned} \right.\qquad \eta(2/z_j) = \left\{ \begin{aligned} & 0, && 1 \le j < i,\\ & \gamma^\circ, && i=j,\\ & 1, && i < j \le N, \end{aligned} \right.$

(19.8)

Как следует из вида распределений (19.8), фактический запуск случайного механизма необходим лишь в тех случаях, когда исход испытания совпадает с единственным значением z_i.

Отметим еще одно обстоятельство. Как следует из (17.18) и (17.20), байесовское решение относительно любого заданного распределения $\xi$ достижимо в классе чистых стратегий $d\in D$ . В случае, когда одна из функций $\rho_i(\zeta)$ из (18.26) удовлетворяет условию $\beta_i = w \al_i$ и, следовательно¹⁾,

$\rho_i(\zeta) = \rho^\circ,\quad 0 \le \zeta \le 1,$

(19.9)

критерий, определяемый критической областью $Q_1(i)$ , является чистой минимаксной стратегией статистика. Однако, в общем случае, условия (19,9) могут не иметь места. Тогда минимаксная стратегия статистика реализуема лишь в классе процедур, использующих случайные механизмы выбора.

Содержание

Вопросы и Ответы